Modélisation variationnelle par homogénéisation stochastique

Notre but est de proposer un modèle mathématique d’un matériau composite aléatoirement renforcé. Pour cela nous effectuons une étude asymptotique variationnelle afin d’obtenir une structure homogène et déterministe rendant compte du comportement mécanique de ce matériau. La stratégie de modélisation consiste à découper (suivant une direction x3) un cube en fines plaques d’épaisseur h(ε) dépendant d’un très petit paramètre ε << 1. Pour h(ε) assez petit, nous supposerons que dans chaque plaque les fibres sont verticales. Notre problème initial est alors décomposé en n modèles de type plaque donnant une formulation 2-dimensionnelle après passage à la limite. Le modèle obtenu est déterministe. Puis, en utilisant ce résultat pour chacune des plaques, on obtient ainsi une énergie discrète, somme des n énergies 2-dimensionnelles homogènes et déterministes. Nous reconstruisons alors une structure 3D par une intégration variationnelle en x3, i.e. en passant à la limite en n de manière variationnelle. L’énergie limite, homogène et déterministe ainsi obtenue est proposée comme un modèle . Nos différents résultats sont validés numériquement.